Isi Artikel
Terdapat berbagai jenis persamaan di dunia matematika, salah satunya adalah persamaan kuadrat atau pangkat dua. Persamaan ini merupakan salah satu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi dua atau kuadrat.
Persamaan pangkat dua juga dapat didefinisikan sebagai persamaan suku banyak yang memiliki ordo tertinggi yaitu pangkat dua. Jika diproyeksikan dalam bentuk kurva, persamaan kuadrat akan membentuk kurva parabola dengan satu titik puncak. Titik tersebut merupakan hasil turunan dari persamaan.
Persamaan pangkat dua memiliki berbagai macam akar persamaan. Jenis akar tersebut ditentukan dari koefisien yang ada pada persamaan. Sedangkan nilai akar persamaan bisa didapat dengan beberapa cara seperti faktorisasi, kuadrat sempurna, atau rumus ABC.
Persamaan Kuadrat
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, persamaan pangkat dua merupakan jenis persamaan dengan ciri-ciri yaitu:
- Memiliki variabel yang berpangkat tertinggi kuadrat.
- Ketika diproyeksikan dalam bentuk kurva, akan terbentuk kurva parabola.
- Titik puncak dari kurva parabola berada pada nilai hasil turunan dari persamaan tersebut.
- Memiliki beberapa jenis akar persamaan
Hal tersebut tentu membedakan persamaan pangkat dua dengan persamaan lain. Sebagai contoh persamaan linear, persamaan ini hanya memiliki variabel dengan pangkat tertinggi satu dan ketika diproyeksikan dalam bentuk kurva akan membentuk garis lurus. Bentuk umum dari persamaan pangkat dua adalah sebagai berikut:
Macam-Macam Akar Persamaan Kuadrat
Ketika mencari akar persamaan pangkat dua, kita perlu tahu jenis akar persamaan tersebut. Jenis ini dapat ditentukan dengan mencari nilai diskriminan persamaan yang didapat dari hasil perhitungan dengan menggunakan nilai koefisien. Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:
Keterangan:
D = Diskriminan
a = koefisien pangkat 2
b = koefisien pangkat 1
c = koefisien pangkat 0
Dari nilai diskriminan tersebut, dapat diketahui 3 macam akar persamaan seperti akar real yang saling berlainan, akar real yang sama dan rasional, dan akar yang tidak real atau imajiner.
Sifat Akar Persamaan Kuadrat
1. Akar Real Saling Berlainan ( D > 0 )
Sudah dijelaskan sebelumnya bahwa jenis akar dapat ditentukan dengan mencari nilai diskriminan. Jika nilai diskriminan lebih dari 0, maka terdapat dua jenis akar real yang saling berlainan atau tidak sama.
Pada kondisi ini, jika persamaan diproyeksikan dalam bentuk kurva parabola, maka titik puncak kurva berada di bawah sumbu x dan menyinggung garis x pada 2 titik yang berbeda. Oleh karena itu, persamaan jenis ini memiliki dua akar real yang berbeda nilainya. Contoh dari persamaan ini adalah:
Dari persamaan tersebut, didapat nilai a = 0, b = 6, dan c = 5. Apabila nilai tersebut dimasukkan kedalam rumus diskriminan maka didapat perhitungan sebagai berikut:
Baca Juga: Contoh Soal Logika Matematika
Nilai diskriminan yang didapat adalah sebesar 16 dan bernilai lebih dari 0. Maka dapat dipastikan bahwa persamaan pangkat dua tersebut memiliki 2 akar real yang saling berlawanan nilainya dan menyinggung sumbu x di dua titik berbeda.
2. Akar Real Sama ( D = 0 )
Jika nilai diskriminan yang didapat bernilai sama dengan 0, maka persamaan pangkat 2 tersebut memiliki dua akar yang nilainya sama. Jika persamaan ini diproyeksikan dalam bentuk kurva, maka kurva yang terbentuk menunjukkan titik puncak berada di sumbu x dan tidak memotong sumbu x. Contohnya adalah:
Bisa kita dapat komponen penting untuk menghitung nilai diskriminan yaitu a = 1, b = 10, dan c = 25. Jika nilai tersebut digunakan untuk mendapatkan nilai diskriminan, maka nilai yang didapat adalah sebagai berikut:
Nilai diskriminan yang diperoleh dari perhitungan persamaan tersebut bernilai sama dengan 0. Oleh karena itu, persamaan tersebut bisa dipastikan hanya memiliki 1 akar real dan bersinggungan dengan sumbu x di satu titik.
3. Akar Imajiner ( D < 0 )
Berbeda dengan akar real, persamaan yang memiliki akar imajiner tidak memotong sumbu x dan titik puncak tidak bersinggungan dengan sumbu x. Contoh dari persamaan ini adalah:
Pada persamaan tersebut dapat ditarik informasi yang diperlukan yaitu a = 1, b = 1, dan c = 2. Kemudian informasi tersebut digunakan untuk memperoleh nilai diskriminan dengan cara sebagai berikut:
Baca Juga: Relasi dan Fungsi
Diskriminan bernilai -7 yang berarti nilai tersebut kurang dari 0 sehingga bisa dipastikan bahwa persamaan diatas tidak memiliki akar yang bernilai real atau akar kuadrat bernilai imajiner.
Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat
Agar semakin memahami persamaan kuadrat, terdapat beberapa contoh soal untuk mendapatkan macam akar, nilai akar, dan titik puncak dari akar. Contoh soal yang biasa ditemui adalah sebagai berikut:
Langkah pertama untuk menentukan jenis akar tanpa mencari nilai akarnya terlebih dahulu adalah dengan menghitung diskriminan. Poin pentingnya adalah nilai a, b, dan c sebagai berikut:
a = 1
b = 7
c = -30
Setelah mendapatkan ketiga nilai koefisien tersebut, dapat dihitung nilai diskriminan dengan cara sebagai berikut:
Nilai diskriminan tersebut sebesar 169 dan lebih besar dari 0. Hal tersebut mengindikasikan bahwa persamaan di atas memiliki dua akar real yang saling berlainan. Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai akar kuadrat. Kita bisa membagi persamaan tersebut menjadi 2 bagian ( x+x1 ) ( x + x2 ) = 0.Nilai b adalah hasil penjumlahan dari x1 + x2 sedangkan nilai c adalah hasil perkalian dari x1 * x2.
Setelah mengetahui konsep tersebut didapat informasi bahwa:
x1 + x2 = 7
x1 * x2 = -30
Sebagai pedoman, jika nilai x1 * x2 < 0, maka akar persamaan tersebut memiliki tanda yang berbeda. Dari kedua persamaan tersebut, kita bisa mendapatkan bahwa nilai x1 adalah sebesar 10 dan x2 adalah (-3). Setelah itu, kita bisa memasukkan nilai x tersebut ke dalam model persamaan ( x + x1 ) ( x + x2 )=0 menjadi ( x + 10 ) ( x – 3 ) = 0. Dari persamaan tersebut bisa didapat nilai x sebagai berikut:
x + 10 = 0 x – 3 = 0
x = -10 x = 3
Dengan demikian didapat nilai akar kuadrat persamaan di atas yaitu (-10) dan 3. Nilai ini menggambarkan kondisi kurva dimana kurva parabola akan memotong sumbu x di titik (-10,0) dan (3,0).
Setelah itu, kita bisa menghitung titik puncak kurva parabola dengan cara menghitung akar dari turunan fungsi kuadrat tersebut. Jika fungsi tersebut diturunkan maka akan menjadi demikian:
Titik puncak dari kurva tersebut didapat dari akar Y’ sebagai berikut:
2x + 7 = 0
2x = -7
X = -3,5 dan Y = -42,25
Dengan demikian dari persamaan tersebut didapat hasil akhir yaitu persamaan memotong sumbu X di titik (-10,0) dan (3,0) dengan titik puncak berada di titik (-3,5 ; -42,25). Titik ini dapat berguna untuk memproyeksikan persamaan dalam bentuk kurva kuadrat.
